Question

已知点A（-1，2）是抛物线C：y=2x2上的点，直线l1过点A，且与抛物线C相切，直线l2：x=a（a≠-1）交抛物线

已知点A（-1，2）是抛物线C：y=2x2上的点，直线l1过点A，且与抛物线C相切，直线l2：x=a（a≠-1）交抛物线C于点B，交直线l1于点D．（1）求直线l1的方程；（2）设△BAD的面积为S1，求|BD|及S1的值；（3）设由抛物线C，直线l1，l2所围成的图形的面积为S2，求证：S1：S2的值为与a无关的常数．

Answer 1

解答：解：（1）由y=2x²，得y′=4x．当x=-1时，y'=-4．（2分）
∴l₁的方程为y-2=-4（x+1），即y=-4x-2．（3分）
（2）由

y＝2x2 x＝a

，得：B点坐标为（a，2a²）．（4分）
由

x＝a 4x+y+2＝0

，得D点坐标（a，-4a-2）．（5分）
∴点A到直线BD的距离为|a+1|．（6分）
|BD|=2a²+4a+2=2（a+1）²
∴S₁=|a+1|³．（7分）
（3）当a＞-1时，S₁=（a+1）³，（8分）
S₂=∫_-1^a[2x²-（-4x-2）]dx
=∫_-1^a（2x²+4x+2）dx
=(

2

3

x3+2x2+2x)

|

a ?1

=

2

3

(a+1)3．（9分）
∴S₁：S₂=

3

2

．（11分）
当a＜-1时，S₁=-（a+1）³
S₂=∫_a^-1[2x²-（-4x-2）]dx
=∫_a^-1（2x²+4x+2）dx
=?

2

3

(a+1)3．（13分）
∴S₁：S₂=

3

2

，综上可知S₁：S₂的值为与a无关的常数，这常数是

3

2

．（14分）