Question

如图，在四棱锥中P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点．（Ⅰ）若PA=PD，求证：平面PQB⊥

如图，在四棱锥中P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点．（Ⅰ）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；（Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，点M在线段PC上，且PM=2MC，求三棱锥P-QBM的体积．

Answer 1

解答：（I）证明：∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD，
又∵底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，∴BQ⊥AD，
又PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PQB，
又∵AD?平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD；----------------（6分）
（II）解：∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PQ⊥AD∴PQ⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴PQ⊥BC，
又BC⊥BQ，QB∩QP=Q，∴BC⊥平面PQB，
又PM=2MC，∴VP-QBM=VM-PQB=

1

3

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2

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3

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3

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3

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2

3

---------------------------（12分）