Question

已知直线x-2y+2=0经过椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S是椭圆C上

已知直线x-2y+2=0经过椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AB，BS与直线l：x＝103分别交于M，N两点．（1）求椭圆C的方程；（2）求线段MN的长度的最小值．

Answer 1

（1）由已知得，椭圆C的左顶点为A（-2，0），上顶点为D（0，1），
∴a=2，b=1，
故椭圆C的方程为

x2

4

+y2＝1．
（2）直线AS的斜率k显然存在，且k＞0，故可设直线AS的方程为y=k（x+2），从而M(

10

3

，

16

3

k)．
由

y＝k(x+2) x2 4 +y2＝1

得（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0．
设S（x₁，y₁），则(?2)?x1＝

16k2?4

1+4k2

得x1＝

2?8k2

1+4k2

，从而y1＝

4k

1+4k2

．
即S(

2?8k2

1+4k2

，

4k

1+4k2

)，又B（2，0）
由

y＝? 1 4k (x?2) x＝ 10 3

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