Question

高数:e^(x^2)如何n阶求导，又如何按麦克劳林公式展开

Answer 1

可以这样来求,先求e^x的二阶麦克劳林公式：e^x=1+x+(1/2)x^2+o(x^2)令-x^2/2代换x,代入上式可得：e^(-x^2/2)=1-(1/2)x^2+(1/8)x^4+o(x^5)三阶的麦克劳林公式可以表示为：e^(-x^2/2)=1-(1/2)x^2+o(x^3)这种代换和对e(-x^2/2)在x=0点求导后展开是等价的,当然代换也具有一定的条件,就是能够保证代换后也是在x=0点的展开式.

Answer 2

直接运用e^x在x=0处的展开式就可以。

追问

常用的麦克劳林公式中的x都可以f(x)用直接替换吗?但阶求导的话不是还要乘内函数的导数吗?

追答

可以的。只要你满足展开的条件。
e^x在R上是可以直接展开成Σx^n/n!的，那么只要f(x)值域是R就可以直接代入展开。
x^2值域是R吧？所以可以直接代入展开了。