Question

已知数列{a n }，{b n }满足a 1 =2，2a n =1+a n a n+1 ，b n =a n -1，数列{b n }的前n项和为S n ，T n

已知数列{a n }，{b n }满足a 1 =2，2a n =1+a n a n+1 ，b n =a n -1，数列{b n }的前n项和为S n ，T n =S 2n -S n ．（1）求证：数列 { 1 b n } 为等差数列，并求通项b n ；（2）求证：T n+1 ＞T n ；（3）求证：当n≥2时， S 2 n ≥ 7n+11 12 ．

Answer 1

（1）由b n =a n -1，得a n =b n +1，代入2a n =1+a n a n+1 ， 得2（b n +1）=1+（b n +1）（b n+1 +1）， ∴b n b n+1 +b n+1 -b n =0，从而有 1 b n+1 - 1 b n =1 ， ∵b 1 =a 1 -1=2-1=1， ∴ { 1 b n } 是首项为1，公差为1的等差数列， ∴ 1 b n =n ，即 b n = 1 n ；（5分） （2）∵ S n =1+ 1 2 ++ 1 n ， ∴ T n = S 2n - S n = 1 n+1 + 1 n+2 ++ 1 2n ， T n+1 = 1 n+2 + 1 n+3 ++ 1 2n + 1 2n+1 + 1 2n+2 ， T n+1 - T n = 1 2n+1 + 1 2n+2 - 1 n+1 ＞ 1 2n+2 + 1 2n+2 - 1 n+1 =0 ， ∴T n+1 ＞T n ；（10分） （3）∵n≥2， ∴ S 2 n = S 2 n - S 2 n-1 + S 2 n-1 - S 2 n-2 ++ S 2 - S 1 + S 1 = T 2 n-1 + T 2 n-2 +…+T 2 +T 1 +S 1 ． 由（2）知 T 2 n-1 ≥ T 2 n-2 ≥…≥T 2 ≥T 1 ≥S 1 ， ∵ T 1 = 1 2 ， S 1 =1， T 2 = 7 12 ， ∴ S 2 n = T 2 n-1 + T 2 n-2 +…+T 2 +T 1 +S 1 ≥（n-1）T 2 +T 1 +S 1 = 7 12 (n-1)+ 1 2 +1 = 7n+11 12 ．（16分）