Question

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，AB=PD=a，PA=PC=2a．（Ⅰ）求证：PD⊥平面ABCD；（Ⅱ）求异面直线P

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，AB=PD=a，PA=PC=2a．（Ⅰ）求证：PD⊥平面ABCD；（Ⅱ）求异面直线PB与AC所成的角；（Ⅲ）求二面角A-PB-D的大小．

Answer 1

解：（1）PC=

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a，PD=DC=a，∴△PDC是Rt△，且PD⊥DC，
同理PD⊥AD，又AD∩DC=D，∴PD⊥平面ABCD．
（2）连BD，因ABCD是正方形，∴BD⊥AC，又PD⊥平面ABCD．
BD是PB在面ABCD上的射影，由三垂线定理得PB⊥AC，∴PB与AC成90°角．
（3）设AC∩BD=O，作AE⊥PB于E，连OE，
∵AC⊥BD，又PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴PD⊥AC，
又PD∩BD=D，∴AC⊥平面PDB，则OE是AE在平面PDB上的射影．
由三垂线定理逆定理知OE⊥PB，∴∠AEO是二面角A-PB-D的平面角．
又AB=a，PA=

2

a，PB=

3

a，∵PD⊥平面ABCD，DA⊥AB，
∴PA⊥AB，在Rt△PAB中，AE?PB=PA?AB．∴AE=

2

3

a，又AO=

2

2

a
∴sinAEO=

3

2

，∠AEO=60°，二面角A-PB-D的大小为60°．