Question

如图，AB是圆O的直径，C是AB延长线上一点，CD切圆O于D，过点B作圆O的切线交CD于E，己知∠CDB=∠CAD，AB=C

如图，AB是圆O的直径，C是AB延长线上一点，CD切圆O于D，过点B作圆O的切线交CD于E，己知∠CDB=∠CAD，AB=CD=2，（1）△CDB∽△CAD吗？请说明理由；（2）求CB的长；（3）求CE的长（选作不计入总分）．

Answer 1

（1）△CDB∽△CAD．
理由：∵∠CDB=∠CAD，∠C是公共角，
∴△CDB∽△CAD；

（2）设BC=x，
∵AB=CD=2，
∴CA=x+2，
∵△CDB∽△CAD，
∴CD：CA=CB：AD，
即CD²=CB?CA，
∴4=x（x+2），
解得：x=-1±

5

（负值不合题意，舍去），
∴BC=-1+

5

．

（3）连接OD，
∵BE是⊙O的切线，CD切圆O于D，
∴OB⊥BE，OD⊥CD，
∴∠CBE=∠CDO=90°，
∵∠C是公共角，
∴△OCD∽△ECB，
∴

CE

OC

＝

BC

CD

，
∴CE=

OC?BC

CD

=

(1?1+ 5 )×(?1+ 5 )

2

=

5? 5

2

．