Question

已知点A，B的坐标分别是（0，-1），（0，1），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积- 1 2

已知点A，B的坐标分别是（0，-1），（0，1），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积- 1 2 ．（1）求点M轨迹C的方程；（2）若过点D（2，0）的直线l与（1）中的轨迹C交于不同的两点D、F（E在D、F之间），试求△ODE与△ODF面积之比的取值范围（O为坐标原点）．

Answer 1

（1）、设M（x，y），∵ k AM - k BM =- 1 2 ，∴ y+1 x ? y-1 x =- 1 2 ， 整理得动点M的轨迹方程为 x 2 2 + y 2 =1(x≠0) ． （2）由题意知直线l的斜率存在，设l的方程为 y=k(x-2)(k≠± 1 2 )        ① 将①代入 x 2 2 + y 2 =1 ，得l的方程为（2k 2 +1）x 2 -8k 2 x+（8k 2 -2）=0，由△＞0，解得 0＜ k 2 ＜ 1 2 ． 设E（x 1 ，y 1 ），F（x 2 ，y 2 ），则 x 1 + x 2 = 8 k 2 2 k 2 +1 x 1 x 2 = 8 k 2 -2 2 k 2 +1 …② 令λ= S △ODE S △ODF ，则λ= |DE| |DF| ，即 DE =λ? DF ，即 x 1 -2=λ( x 2 -2) ，且0＜λ＜1． 由②得， ( x 1 -2)+( x 2 -2) = -4 2 k 2 +1 ( x 1 -2)( x 2 -2) = x 1 x 2 -2( x 1 + x 2 ) +4= 2 2 k 2 +1 ， ∴ λ (1+λ) 2 = 2 k 2 +1 8 ，即 k 2 = 4λ 2 k 2 +1 - 1 2 ∵ 0＜ k 2 ＜ 1 2 ，且 k 2 ≠ 1 4 ，∴ 0＜ 4λ (1+λ) 2 - 1 2 ＜ 1 2 ，且 4λ (1+λ) 2 - 1 2 ≠ 1 4 ． 解得 3-2 2 ＜λ＜ 3+2 2 ，且 λ≠ 1 3 ，∵0＜λ＜1，∴ 3-2 2 ＜λ＜ 1 且 λ≠ 1 3 ． ∴△OBE与△OBF面积之比的取值范围是 (3-2 2 ， 1 3 )∪ ( 1 3 ，1) ．