Question

已知数列{an}的前n项之和为Sn，满足an+Sn=n．（Ⅰ）证明：数列{an-1}为等比数列，并求通项an；（Ⅱ）设bn

已知数列{an}的前n项之和为Sn，满足an+Sn=n．（Ⅰ）证明：数列{an-1}为等比数列，并求通项an；（Ⅱ）设bn=（2-n）?（an-1），求数列{bn}中的最大项的值．

Answer 1

（Ⅰ）由题意，得S_n=n-a_n，所以S_n-1=n-1-a_{n-（　　）1}，
两式相减得S_n-S_n-1=1+a_n-1-a_n，
整理，得2a_n=a_n-1+1，（n≥2）
配方得：2（a_n-1）=a_n-1-1
∴

an?1

an?1?1

＝

1

2

，可得{a_n-1}为公比为

1

2

的等比数列
由已知式可得a₁+s₁=1，得a1＝

1

2

∴a1?1＝?

1

2

，可得an?1＝(?

1

2

)(

1

2

)n?1＝?

1

2n

，
n=1时也符合
因此，数列{a_n}的通项公式为an＝1?

1

2n

…（7分）
（Ⅱ）bn＝(2?n)(an?1)＝(n?2)?

1

2n

可得bn+1?bn＝(n?1)?

1

2n+1

?(n?2)?

1

2n

=

1

2n+1

（3-n）
∴当n=1，2时，b_n+1-b_n≥0；当n=3时，b_n+1-b_n=0；当n≥4时，b_n+1-b_n＜0
∴当n=3或4时，b_n达到最大值．即数列{b_n}中的最大项为b₃=b₃=

1

8

．…（14分）