Question

已知如图，AC=BC，∠C=90°，∠A的平分线AD交BC于D，过B作BE垂直AD于E，求证：BE= 1 2 AD

已知如图，AC=BC，∠C=90°，∠A的平分线AD交BC于D，过B作BE垂直AD于E，求证：BE= 1 2 AD．

Answer 1

如图，延长AC、BE交于点M， ∵∠A的平分线AD，BE垂直AD于E， ∴∠MAE=∠BAE，∠AEM=∠AEB=90°， ∵AE=AE， ∴△AEM≌△AEB（ASA）， ∴EM=BE，即BM=2BE①； ∵∠A的平分线AD，AC=BC，∠C=90°， ∴∠CAD=∠DAB=22.5°，∠ABC=45°， ∵BE垂直AD于E， ∴∠DAB+∠ABC+∠DBE=90°，即∠DBE=22.5°， ∴∠CAD=∠DBE， 又∵AC=BC，且∠ACB=∠BCM=90°， ∴△ACD≌△BCM（ASA）， ∴AD=BM②； 由①②得AD=2BE， 即BE= 1 2 AD．