Question

对于任意实数x，符号[x]表示x的整数部分，即[x]是不超过x的最大整数，这个函数[x]叫做“取整函数”，那么

对于任意实数x，符号[x]表示x的整数部分，即[x]是不超过x的最大整数，这个函数[x]叫做“取整函数”，那么[log 3 1]+[log 3 2]+[log 3 3]+[log 3 4]+…+[log 3 243]=______．

Answer 1

由题意可知：设[log 3 a]=b log 3 a=b+x，a，b为整数 a=3 b+x ，0≤x＜1， 因为y=3 x 为单调增函数 当a在[1，2]时 因为3 0 =1，3 1 =3 则0＜b+x＜1 所以b=0时，[log 3 1]+[log 3 2]=0 当a在[3，8]时 同理1＜b+x＜2 b=1时，[log 3 3]+[log 3 4]+…+[log 3 8]=1 b=2时，[log 3 9]+[log 3 10]+…+[log 3 26]=2． b=3时，[log 3 27]+[log 3 28]+…+[log 3 80]=3． b=4时，[log 3 81]+[log 3 82]+…+[log 3 242]=4． b=5时，[log 3 243]=5． ∴[log 3 1]+[log 3 2]+[log 3 3]+[log 3 4]+…+[log 3 243]=1×6+2×18+3×54+4×162+5=857．