Question

数学高中：定义数列如下：a1=1/2，a(n+1)=an²+an，n∈N*，求证：（1）对于n∈N*恒有a(n+1)＞an成立

定义数列如下：a1=1/2，a(n+1)=an²+an，n∈N*，
求证：（1）对于n∈N*恒有a(n+1)＞an成立；（2）对于n≥2时，1＜1/(1+a1)＜1/(1+a2)+…+1/(1+an)＜2
求详解，要步骤。谢谢

Answer 1

∵a₁=1/2，an₊₁=a²n+an，∴an₊₁>an>0，

1/an₊₁=1/(a²n+an)=1/an-1/(an+1)，
累加后得1/an₊₁=1/a₁-1/(a₁+1)-1/(a₂+1)+1/(a₃+1)-1/(a₄+1)-……-1/(an+1) ，
1/an₊₁=2-1/(a₁+1)-1/(a₂+1)+1/(a₃+1)-1/(a₄+1)-……-1/(an+1) ，
1/an₊₁+1/(a₁+1)+1/(a₂+1)+1/(a₃+1)+1/(a₄+1)+……+1/(an+1)=2，
∴1/(a₁+1)+1/(a₂+1)+1/(a₃+1)+1/(a₄+1)+……+1/(an+1)<2，
∵a₁=1/2，a₂=3/4，∴1/(a₁+1)+1/(a₂+1)=2/3+4/7=26/21>1，
∴ n≥2时，1<1/(a₁+1)+1/(a₂+1)+1/(a₃+1)+1/(a₄+1)+……+1/(an+1)<2，证毕。