Question

四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是正方形,SA⊥平面AC,SC⊥截面AEFG, 求证:(1)AE⊥SB AG⊥SD；（2）AF⊥GE

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Answer 1

（1）由图，易知：
∵ SA⊥面ABCD
∴ BC⊥SA；
而 BC⊥BA，且SA和BA是面SAB内两相交直线；
∴BC⊥面SAB
∴BC⊥AE；
由SC⊥面AEFG知：SC⊥AE；
而SC和BC是面SBC内两条相交直线；
∴ AE⊥面SBC；
∴AE⊥SB。
同理可证： AG⊥SD
（2）简单证明过程如下：
有题目容易证得△AEF≡△AGF；
作EM⊥AF于M，GN⊥AF于N；
易证得：EM=GN；
即点M和N是重合的，设他们重合点为O；
由∠EOA=∠GOA=90°得∠EOG=180°；
即E，O,G三点共线；
而EO⊥AF
也就是EG⊥AF
证毕

打完收工！

Answer 2

∵SC⊥平面AEFG，
AE∈平面AEFG，
∴AE⊥SC，
∵SA⊥平面ABCD，、
AD∈平面ABCD，
∴SA⊥AD，
∵AD⊥AB，AB∩SA=A，
∴AD⊥平面SAB，
∵AE∈平面SAB，
∴AD⊥AE，
∵BC//AD，
∴BC⊥AE，
∵BC∩SC=C，
AE⊥平面SBC，
SB∈平面SBC，
∴AE⊥SB。
同理可证AG⊥平面SCD，
SD∈平面SCD，
∴AG⊥SD。
（2）△SAB≌△SAD，
AE和AG都是二RT三角形斜边的高，
故AE=AG，
SB=SD，SC=SC，
BC=CD，
△SBC≌△SDC，（SSS）
〈BSC=〈CSD，
SE=SG，SF=SF，
△SEF≌△SGF，
EF=FG，
在四边形AEFG中，
△FEG和△AEG都是等腰三角形，
取EG中点，根据等腰三角形对称轴性质，
AF⊥GE，
当然可先证三角形AEF和AGF全等，
得出AF是角平分线，从而进一步说明是等腰三角形的高。

同理，SC⊥平面AEFG，
AF∈平面AEFG，
SC⊥AF，

Answer 3

(1)求证AE⊥SB AG⊥SD如下