Question

高一数学题几道

1、已知直线L:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4,圆C:(x-1)^2+(y-2)^2=25,试证：当m是实数时，L与C一定相交，并求相交弦长的最小值及对应的m值。
2、求与圆x^2+y^2-2x+4y+1=0同圆心，且与直线2x-y+1=0相切的圆的方程。
3、已知直线过点（1，2），且与两坐标轴的正方向围成的三角形的面积为4，求直线L的方程。
4、圆与两边平行线x+3Y-5=0,x+3y-3=0相切，圆心在直线2x+y+1=0上，求这个圆的方程。
5、已知方程x^2+y^2-2(m+3)x-2(1-4m^2)y+16m^4+9=0,若该方程表示一个圆，求m的取值范围及这时圆心的轨迹方程。
6、已知直线L:y=k(x-a)及圆O:x^2+y^2=r^2(a大于r大于0）。直线L与圆O相交于A、B两点，求当k变化时，弦AB的中点M的轨迹方程。

题目难度不大，需要详解。都做出来才给分。请大家帮忙。谢谢。

Answer 1

证明：（1）将直线变形得（2x+y-7)m+(x+y-4)=0,则直线恒过点（3,1）
又因为（3，1）在圆内，故直线与圆有交点。
过点（3,1）且与点（3,1）与圆心的连线垂直的那条弦最短，弦所在方程为2x-y-5=0,弦最短为4√5,此时m=-3/4
（2）由题意知圆心坐标为（1，-2），则半径即为圆心到直线2x-y+1=0的距离的r=√5，所以所求圆的方程为 （x-1)平方+（y+2)平方=5
（3）设直线方程为x/a+y/b=1(a为横截距，b为纵截距）则ab=±8
因为直线过（1,2） 则1/a+2/b=1
当ab=8时，得a=2,b=4 当ab=-8时，得a=-2,b=-4
所以所求直线方程为2x+y-4=0或2x+y+4=0
(4) 由题意知直径即为两平行线的距离为√10/5，则半径为√10/10，且圆心在两条平行线中间且与两直线平行的直线上，即x+3y-4=0,该直线与直线2x+y+1=0得交点（-7/5,9/5）即为圆心，所以圆的方程为
（x+7/5)方+（y-9/5）方=1/10
（5）经过配方后可知，要使该方程为圆，则
（m+3）方+（1-4m方）方-（16m4次方+9）>0得，-1/7<m<1
圆心坐标为（m+3,1-4m方）令x=m+3,y=1-4m方，则m=x-3代入得，
y=1-4(x-3)方（-1/7<m<1)
（6）直线与圆方程联立，令Δ>0得k方<r方/a方-r方，
XA+XB=2ak方/k方+1，YA+YB=-2ak/k方+1 则AB终点坐标为
（ak方/k方+1，-ak/k方+1）所以AB中点轨迹方程为
y方=ax/k方+1 (k方<a方-r方）