Question

数列an中an=2n^2+n-1/2n^2+3n+1求证an属于(0,1)

Answer 1

证：
an=(2n²+n-1)/(2n²+3n+1)
=(2n²+3n+1-2n-2)/(2n²+3n+1)
=1- 2(n+1)/(2n²+3n+1)
=1- 2(n+1)/[(n+1)(2n+1)]
=1- 2/(2n+1)
n∈N*，2/(2n+1)>0，1- 2/(2n+1)<1
随n增大，2n+1单调递增，2/(2n+1)单调递减，1- 2/(2n+1)单调递增
n=1时， 1-2/(2n+1)有最小值： 1- 2/(2×1+1)=⅓
n→+∞时，2/(2n+1)→0，1- 2/(2n+1)→1
综上，得：⅓≤1- 2/(2n+1)<1
0<⅓≤an<1
an∈(0，1)

从解题过程知，其实an的取值区间还可以进一步确定，是[⅓，1)