Question

试确定一切有理数r，使得关于x的方程rx 2 +（r+2）x+r-1=0有根且只有整数根

试确定一切有理数r，使得关于x的方程rx 2 +（r+2）x+r-1=0有根且只有整数根．

Answer 1

（1）若r=0，x= 1 2 ，原方程无整数根； （2）当r≠0时，x 1 +x 2 =- r+2 r ，x 1 x 2 = r-1 r ； 消去r得：4x 1 x 2 -2（x 1 +x 2 ）+1=7， 即（2x 1 -1）（2x 2 -1）=7， ∵7=1×7=（-1）×（-7）， ∴① 2 x 1 -1=1 2 x 2 -1=7 ，解得 x 1 =1 x 2 =4 ， ∴1×4= r-1 r ，解得r=- 1 3 ； ② 2 x 1 -1=7 2 x 2 -1=1 ，解得 x 1 =4 x 2 =1 ； 同理得：r=- 1 3 ， ③ 2 x 1 -1=-1 2 x 2 -1=-7 ，解得 x 1 =0 x 2 =-3 ，r=1， ④ 2 x 1 -1=-7 2 x 2 -1=-1 ，解得 x 1 =-3 x 2 =0 ，r=1． ∴使得关于x的方程rx 2 +（r+2）x+r-1=0有根且只有整数根的r值是- 1 3 或1．