Question

如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，且AC=CD．（1）求证：OC ∥ BD；（2）若BC将四边形OBDC分成面

如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，且AC=CD．（1）求证：OC ∥ BD；（2）若BC将四边形OBDC分成面积相等的两个三角形，试确定四边形OBDC的形状．

Answer 1

（1）证明：∵AC=CD， ∴弧AC与弧CD相等， ∴∠ABC=∠CBD， 又∵OC=OB（⊙O的半径）， ∴∠OCB=∠OBC， ∴∠OCB=∠CBD， ∴OC ∥ BD； （2）∵OC ∥ BD， 不妨设平行线OC与BD间的距离为h， 又S △OBC = 1 2 OC×h，S △DBC = 1 2 BD×h， 因为BC将四边形OBDC分成面积相等的两个三角形， 即S △OBC= S △DBC ， ∴OC=BD， ∴四边形OBDC为平行四边形， 又∵OC=OB， ∴四边形OBDC为菱形．