Question

已知函数f（x）=x3-x，其图象记为C，若对于任意非零实数x1，曲线C与其在点P1（x1，f（x1））处的切线交于

已知函数f（x）=x3-x，其图象记为C，若对于任意非零实数x1，曲线C与其在点P1（x1，f（x1））处的切线交于另一点P2（x2，f（x2）），曲线C与其在点P2（x2，f（x2））处的切线交于另一点P3（x3，f（x3）），线段P1P2，P2P3与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为S1，S2，求证：S1S2为定值．

Answer 1

∵f′（x）=3x²-1，
∴函数f（x）=x³-x图象在点P₁（x₁，f（x₁））处的切线方程为y-（x13?x1）=（3x12?1）（x-x₁），即y=（3x12?1）x-2x13
把上式和y=x³-x联立方程组消y得关于x的方程(x?x1)2(x+2x1)＝0，
解之得x=x₁或x=-2x₁，于是x₂=-2x₁，同理x₃=-2x₂．
由题意S₁=|

∫

x2 x1

[(3x12?1)x?2x13?(x3?x)]dx|
=|

∫

x2 x1

(3x12x?2x13?x3)dx|=

27

4

x14，
同理可得S₂=

27

4

x24．再考虑到x₂=-2x₁≠0，
所以

S1

S2

=

1

16

，即

S1

S2

为定值．