证明函数f(x)=(1 1/x)^x在其定义区间内单调增加
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f(x)=y=(1+1/x)^x
定义域x∈(-∞,-1)∪(0,+∞)
lny=xln(1+1/x)
y'/y=ln(1+1/x)-1/(x+1)
y'=(1+1/x)^x·[ln(1+1/x)-1/(x+1)]
∵ (1+1/x)>0
∴(1+1/x)^x>0
令g(x)=ln(1+1/x)-1/(x+1)
g'(x)=-1/x(x+1)+1/(x+1)²=-1/x(x+1)²
x<-1 g'(x)单调递增，x>0 g'(x)单调递减
∵lim(x→∞)[-1/x(x+1)²]=0
∴g'(x)>0
∴y'>0 f(x)=(1+1/x)^x在其定义区间内单调增加.
定义域x∈(-∞,-1)∪(0,+∞)
lny=xln(1+1/x)
y'/y=ln(1+1/x)-1/(x+1)
y'=(1+1/x)^x·[ln(1+1/x)-1/(x+1)]
∵ (1+1/x)>0
∴(1+1/x)^x>0
令g(x)=ln(1+1/x)-1/(x+1)
g'(x)=-1/x(x+1)+1/(x+1)²=-1/x(x+1)²
x<-1 g'(x)单调递增，x>0 g'(x)单调递减
∵lim(x→∞)[-1/x(x+1)²]=0
∴g'(x)>0
∴y'>0 f(x)=(1+1/x)^x在其定义区间内单调增加.
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