Question

（2005?重庆）如图，AB是△ABC的外接圆⊙O的直径，D是⊙O上的一点，DE⊥AB于点E，且DE的延长线分别交AC、

（2005?重庆）如图，AB是△ABC的外接圆⊙O的直径，D是⊙O上的一点，DE⊥AB于点E，且DE的延长线分别交AC、⊙O、BC的延长线于F、M、G．（1）求证：AE?BE=EF?EG；（2）连接BD，若BD⊥BC，且EF=MF=2，求AE和MG的长．

Answer 1

解答：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，DE⊥AB
∴∠ACB=∠BEG=∠AEF=90°
∴∠G+∠B=∠A+∠B=90°
即∠G=∠A
∴Rt△AEF∽Rt△GEB
∴

AE

EF

＝

EG

BE

，即AE?BE=EF?EG；

（2）解：∵DE⊥AB，
∴DE=EM=4
连接AD，∵AB是⊙O的直径，BD⊥BC
∴∠ACB=∠ADB=∠DBC=90°
∴∠DAF=90°
由Rt△AEF∽Rt△ADE可得AE²=DE?EF
∴AE=2

2

由相交弦定理可得DE?EM=AE?BE
∴EF?EG=DE?EM
∴EG=

DE?EM

EF

=

4×4

2

=8
∴MG=EG-EM=8-4=4．