Question

一道高一数列

2a（n+1）=a（n）*a（n+1）+1
如果用不动点法是可以做出来
但我不了解不动点法的实质
所以求正常解
谢谢

Answer 1

一般来说数列求通项的基本思路都是转化成最简单的等差和等比数列来进行求解
至于不动点法就是寻找转化的一种捷径
那么不用这种捷径 其实别的方法目的也是相同的
比如这道题 不用不动点 那就想办法变
一般在变的途中 要使带a(n)的项和a(n+1)的项独立开 且结构相同 也常使用取倒数的手段
分开
a(n+1)(2-a(n))=1
a(n+1)=1/(2-a(n))
转化相同结构 尝试将左右分子调整相似结构（调整分母比较困难）
此时也采用待定系数
x+a(n+1)=x+1/(2-a(n))=(2x+1+xa(n)) / (2-a(n))
那么x+a(n+1)应该和(2x+1+xa(n))成比例才算相似结构
则x/(2x+1)=1/x 得x=-1
那么也就是a(n+1)=1/(2-a(n))两边减1
则a(n+1)-1=(a(n)-1)/(2-a(n))
相同结构出现 针对此情况 一般取倒数处理 对于右边再分离参数
那么就是1/(a(n+1)-1)=(2-a(n))/(a(n)-1)=1/(a(n)-1)-1
这个时候 等差数列就诞生了 {1/(a(n)-1)} 就是一个等差数列 公差为-1 首项你没给我。。。
然后解出1/(a(n)-1)就解出a(n)了
其实回头想想和不动点法的核心是一样的 只不过不动点法的过程简单 不需多加思考

Answer 2

解：

等式整个除以a（n）*a（n+1）

得到2/a（n）=1+1/a（n+1）

1/a（n+1）-1=2（1/a（n）-1）

令b(n)=1/a(n+1)-1,可以得到

{b(n)}是以1/a（1）-1为首项，以2为公比的等比数列

1/a（n）-1=[1/a（1）-1]*2^(n-1)
a(n)=1/{[1/a（1）-1]*2^(n-1)+1}

题目的条件还不够，必须要有一个能求出某一项的条件，比如a（1）的值。