Question

帮一道高一数列

设数列{a(n)}的前n项和为S(n)，已知a1=1，S(n)+1=4(an)+2. (1)设b（n)=a(n+1)-2a(n),证明{b(n)}是等比数列 （2）求数列{a(n)}的通项公式

Answer 1

（1）因为Sn+1=4an+2
所以Sn=4an+1,S(n+1)=4a(n+1)+1
S(n+1)-Sn=a(n+1)=4a(n+1)-4an
a(n+1)/an=4/3
{an}为以1为首项，4/3为公比的等比数列，通项公式为an=(4/3)的n-1次方
bn=a(n+1)-2an
=-(2/3)乘以[(4/3)的n-1次方] 所以b1=-2/3
显然，{bn}为以-2/3为首项，4/3为公比的等比数列，通项公式为bn=……
（2）由（1）得，{an}的通项公式为an=……

Answer 2

我想了很久，才想到个笨方法。
S(n)=4a(n)+1
S(n-1)=4a(n-1)+1
2式相减：S(n)-S(n-1)=a(n)=4a(n)-4a(n-1)
解得：a(n)=4/3a(n-1)
a(n-1)=4/3a(n-2)
如此类推
a(2)=4/3a(1)
用类乘法:a(n)=((4/3)^(n-1))a1=(4/3)^(n-1)
貌似第2小问的解
b（n)=a(n+1)-2a(n)=(4/3)^n-2*(4/3)^(n-1)=((4/3)^(n-1))(4/3-2)
b(n-1)=a(n)-2a(n-1)=(4/3)^(n-1)-2*(4/3)^(n-2)=((4/3)^(n-2))(4/3-2)
b(n)/b(n-1)=4/3且b1=a(2)-2a(1)=4/3-2=-2/3≠0
∴{b(n)}为等比数列
谢谢你的提问