Question

已知f(x)是定义域R上的增函数x属于R则f(x)>0且f(5)=1设F(x)=f(x)+1/f(x)讨论F(x)

已知f(x)是定义域R上的增函数x属于R则f(x)>0且f(5)=1设F(x)=f(x)+1/f(x)讨论F(x)单调性，并证明你的结论

Answer 1

因为y=x+1/x,这个函数很重要，它在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）是增函数。因为是奇函数，在区间（-∞，-1）递增，在（-1，0）递减。
咱们这题，当然是复合函数，并且f(x)大于0，根据“同增异减”可知：在区间（-∞，5]F(x)为减函数；在区间[5，+∞）时，F(x)为增函数。
证明：设x1，x2∈（-∞,5]且x1<x2,
则F(x1)-F(x2)=f(x1)+1/f(x1)-f(x2)-1/f)x2)
=[f(x1)-f(x2)]*{f(x1)f(x2)-1]/f(x1)f(x2)
因为f(x)是定义域R上的增函数，所以f(x1)-f(x2)<0; x1<5,x2<5,所以0<f(x1)<1,0<f(x2)<1,所以0<f(x1)*f(x2)<1
所以[f(x1)-f(x2)]*{f(x1)f(x2)-1]/f(x1)f(x2)>0
所以F(x1)-F(x2)>0,即F(x)在（-∞，5]上是减函数。
另一区间的你自己按这样证明吧。注意化简过程。

Answer 2

复合规律
因为函数y=t+1/t在(0,1)上减,在(1,+无穷大)上增
又因为f(x)是定义域R上的增函数x属于R则f(x)>0且f(5)=1
所以当x>5时,f(x)>1,当x<5时,0<f(x)<1
所以F(x)=f(x)+1/f(x)的
增区间为(5,+无穷大),减区间为(-无穷大,5)

Answer 3

加油