Question

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax 2 +bx+c交x轴于A（2，0），B（6，0）两点，交y轴于点 。

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax 2 +bx+c交x轴于A（2，0），B（6，0）两点，交y轴于点 。 （1）求此抛物线的解析式；（2）若此抛物线的对称轴与直线y=2x交于点D，作⊙D与x轴相切，⊙D交y轴于点E、F两点，求劣弧EF的长；（3）P为此抛物线在第二象限图像上的一点，PG垂直于轴，垂足为点G，试确定P点的位置，使得△PGA的面积被直线AC分为1︰2两部分。

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Answer 1

解：（1）∵抛物线 经过点 ， ， ∴ ，解得 ∴抛物线的解析式为： 。 （2）易知抛物线的对称轴是 把x=4代入y=2x得y=8， ∴点D的坐标为（4，8） ∵⊙D与x轴相切， ∴⊙D的半径为8 连结DE、DF，作DM⊥y轴，垂足为点M 在Rt△MFD中，FD=8，MD=4 ∴cos∠MDF= ∴∠MDF=60°， ∴∠EDF=120° 劣弧EF的长为： 。 （3）设直线AC的解析式为y=kx+b ∵直线AC经过点 ∴ 解得 ∴直线AC的解析式为： 设点 PG交直线AC于N，则点N坐标为 ∵ ∴①若PN︰GN=1︰2，则PG︰GN=3︰2，PG= GN 即 解得：m 1 =-3，m 2 =2（舍去） 当m=-3时， ∴此时点P的坐标为 。 ②若PN︰GN=2︰1，则PG︰GN=3︰1，PG=3GN 即 解得： ， （舍去） 当 时， 此时点P的坐标为 综上所述，当点P坐标为 或 时， △PGA的面积被直线AC分成1︰2两部分。

Answer 2

解：（1）∵抛物线经过点，，
∴，解得
∴抛物线的解析式为：。
（2）易知抛物线的对称轴是
把x=4代入y=2x得y=8，
∴点D的坐标为（4，8）
∵⊙D与x轴相切，
∴⊙D的半径为8
连结DE、DF，作DM⊥y轴，垂足为点M
在Rt△MFD中，FD=8，MD=4
∴cos∠MDF=
∴∠MDF=60°，
∴∠EDF=120°
劣弧EF的长为：。
（3）设直线AC的解析式为y=kx+b
∵直线AC经过点
∴
解得
∴直线AC的解析式为：
设点
PG交直线AC于N，则点N坐标为
∵
∴①若PN︰GN=1︰2，则PG︰GN=3︰2，PG=GN
即
解得：m1=-3，m2=2（舍去）
当m=-3时，
∴此时点P的坐标为。
②若PN︰GN=2︰1，则PG︰GN=3︰1，PG=3GN
即
解得：，（舍去）
当时，
此时点P的坐标为
综上所述，当点P坐标为或时，
△PGA的面积被直线AC分成1︰2两部分。