Question

如图所示，静放在水平面上的 3 4 圆形（半径为R）光滑管道ABC，C为最高点，B为最低点，管道在

如图所示，静放在水平面上的 3 4 圆形（半径为R）光滑管道ABC，C为最高点，B为最低点，管道在竖直面内．管道内放一小球，小球可在管道内自由移动，现用一装置将小球锁定在P点，过P点的半径OP与竖直方向的夹角为θ．现对管道施加一水平向右的恒力F，同时解除对小球的锁定，管道沿水平面向右做匀加速运动，小球相对管道仍保持静止．经过一段时间后管道遇一障碍物突然停止运动，小球能到达管道的A点．重力加速度为g，小球大小及管道内释不计．求．（1）恒力作用下圆形管道运动的加速度；（2）圆形管道从开始运动到突然停止过程中运动距离的可能值．

Answer 1

（1）小球受力如图，由力的平行四边形定则及牛顿第二定律得： mgtanθ=ma； 解得a=gtanθ； 即为恒力作用下的圆形管道运动的加速度； （2）设圆形管道在运动过程中突然停止前进的速度为v，由匀变速直线运动公式得：v 2 =2as； 圆形管道停止时，小球沿管道半径方向的速度变为零，沿切线方向的速度保持不变，对速度v沿切向和径向进行分解，则小球速度变为v′=vcosθ； 小球能运动到管道右侧圆心上方至最高点C之间的区域则可返程到达A点，或从C点飞出做平抛运动到达A点； 若小球能运动到管道右侧圆心上方至最高点C之间的区域，则由机械能守恒得： 1 2 m（vcosθ） 2 =mg（Rcosθ+h），其中0≤h＜R 联立以上相关各式得： R sinθ ≤s＜ 2R(1+cosθ) sin2θ 若小球从C点飞出做平抛运动到达A点，则由机械能守恒及平抛运动的规律得： R= 1 2 gt 2 ，R=v C t 1 2 m（vcosθ） 2 =mgR（1+cosθ）+ 1 2 mv c 2 联立以上相关各式得：s= R(5+4cosθ) 2sin2θ 圆形管道从开始运动到突然停止过程中运动距离的可能值为： R sinθ ≤s＜ 2R(1+cosθ) sin2θ 及s= R(5+4cosθ) 2sin2θ