Question

已知函数f(x)满足2f(x-1)+(1-x)=2x-1。求f(x)的解析式。

工具书上正确的解题过程如下：
由已知2f(x-1)+(1-x)=2x-1,。。。。。。（1）
令t=x-1,则x=t+1代入（1），得
2f(t)+f(-t)=2t+1.......(2)
在（2）中令t=-t,则2f(-t)+f(t)=-2t+1......(3)
(2)乘2-（3），得3f(t）=2（2t+1)-(-2t+1）.
所以f(t)=2t+1/3，
所以，所求函数解析式为f(x)=2x+1/3.
<我认为工具书上的解法是正确的。但我对自己的解法错在哪里很不明白，我用的是换元法，以下是我的解题过程，请指出错误的地方。〉
令x-1=t,则1-x=-t
所以得到2f（t)+f(-t)=2x-1, (相反数相加和为零）
则f(t)=2x-1
又因为x=t+1
所以f(t)=2(t+1）-1
=2t+1
所以f(x)=2x+1
我实在不知道错在哪里，望有人指出。谢谢。

Answer 1

其中有一个问题是，你用的是换元法，可是在“所以得到2f（t)+f(-t)=2x-1”里并没有完全换成一个元，这个使得在下面的计算过程中，容易把“t和-t相反”的结论与“x和-x相反”的结论混成一体，实际上它们不是同时互为相反数的，所以，在计算过程中还是要把全部的变量尽量的统一
按照你的算法，得到是应该是2f（t)+f(-t)=2t+1，这个是和工具书上的答案一样的~

Answer 2

高一同胞！哈哈，握爪。我也是啦...

觉得是那个相反数相加那步出问题了吧 f(t)不一定等于f(-t)

就是它俩不一定是相反数

f(t)与-f(t)是相反数吧

举个例子 f(t)=t^2-t ，f(1)=1-1=0 ,f(-1)=1-(-1)=2

当f(t)与f(-t)成相反数时，是奇函数，不一定满足题上关系式吧....

坐等高人~

Answer 3

f(t)+f(-t)不一定等于0