Question

变态数学题高人求解

a,b,c为3个正数，a+b+c=1
求证(1/a-1)(1/b-1)(1/c-1)>=8
提供个思路：式子可以化简成：（1-a）（1-b）（1-c）>=8

Answer 1

1/a-1=(a+b+c)/a-1=(b+c)/a>=2√(bc)/a
1/b-1=(c+a)/b>=2√(ca)/b
1/c-1=(a+b)/c>=2√(ab)/c
(1/a-1)(1/b-1)(1/c-1)>=2√(bc)/a*2√(ca)/b*2√(ab)/c=8
当a=b=c=1/3时等号成立

Answer 2

欲证 （1/a-1）（1/b-1）（1/c-1）≥8
则 1-a-b-c+ab+ac+bc≥9abc (展开)
因为a+b+c=1 所以 上式为
ab+ac+bc≥9abc
abc都为正实数 所以abc>0
化简为 1/a+1/b+1/c≥9
a+b+c≥3*3次根号下abc 所以abc《1/9
又因为1/a+1/b+1/c≥3*3次根号下(1/abc)
所以
1/a+1/b+1/c≥9 成立
所以不等式成立

Answer 3

1/a-1=(a+b+c)/a-1=b/a+c/a>=2根号b/a*c/a
1/b-1=a/b+c/b>=2根号a/b*c/b
1/c-1=a/c+b/c>=2根号a/c*b/c
三个式相乘得(1/a-1)(1/b-1)(1/c-1)>=8

Answer 4

- -
证明:
原式=(a+b+c/a - 1)(a+b+c/b - 1)(a+b+c/c - 1)
=(b/a+c/a)(a/b+c/b)(b/c+a/c)
≥2倍根号下(bc/a²)*2倍根号下(ac/b²)*2倍根号下(ab/c²)=8

Answer 5

打错了，改好了我再来