Question

已知△ABC是等边三角形，点D、F分别在边BC、AC上，且DF∥AB，过点A平行于BC的直线与DF的延长线交于点E，

已知△ABC是等边三角形，点D、F分别在边BC、AC上，且DF∥AB，过点A平行于BC的直线与DF的延长线交于点E，连结CE、BF． （1）求证：△ABF≌△ACE；（2）若D是BC的中点，判断△DCE的形状，并说明理由．

Answer 1

（1）根据等边三角形的性质可得AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°，再根据平行线的性质可得∠EFA＝∠BAC＝60°，∠CAE＝∠ACB＝60°，即可得到△EAF是等边三角形，从而证得结论；（2）直角三角形

试题分析：（1）根据等边三角形的性质可得AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°，再根据平行线的性质可得∠EFA＝∠BAC＝60°，∠CAE＝∠ACB＝60°，即可得到△EAF是等边三角形，从而证得结论； （2）连接AD．先根据平行四边形的定义证得四边形ABDE是平行四边形，即得AE＝BD，再根据中点的性质可得BD＝DC，再结合AE∥DC可得四边形ADCE是平行四边形，再根据等腰三角形的性质证明即可. （1）∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°． ∵DE∥AB，AE∥BD， ∴∠EFA＝∠BAC＝60°，∠CAE＝∠ACB＝60°． ∴△EAF是等边三角形． ∴AF＝AE． 在△ABF和△ACE中， ∵AB＝AC，∠BAF＝∠CAE＝60°，AF＝AE， ∴△ABF≌△ACE．    （2）△DCE是直角三角形，∠DCE＝90° 理由：连接AD． ∵DE∥AB，AE∥BD， ∴四边形ABDE是平行四边形． ∴AE＝BD． ∵D是BC中点， ∴BD＝DC． ∴AE＝DC． ∵AE∥DC， ∴四边形ADCE是平行四边形． ∵AB＝AC，D是BC中点， ∴AD⊥DC． ∴四边形ADCE是矩形． ∴△DCE是直角三角形，∠DCE＝90°． 点评：本题知识点较多，综合性较强，是中考常见题，熟练掌握平面图形的基本性质是解题关键.