Question

如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB= ，CE=EF=1．（Ⅰ）求证：AF∥

如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB= ，CE=EF=1．（Ⅰ）求证：AF∥平面BDE；（Ⅱ）求证：CF⊥平面BDE；（Ⅲ）求二面角A﹣BE﹣D的大小 ．

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Answer 1

解：证明：（I）设AC与BD交于点G，因为EF∥AG，且EF=1，AG= AC=1， 所以四边形AGEF为平行四边形．所以AF∥EG． 因为EG P平面BDE，AF 平面BDE， 所以AF∥平面BDE． （II）因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直， 且CE⊥AC，所以CE⊥AC，所以CE⊥平面ABCD． 如图，以C为原点，建立空间直角坐标系C﹣xyz． 则C（0，0，0），A（ ， ，0），D（ ，0，0）， E（0，0，1），F（ ， ，1）． 所以 =（ ， ，1）， =（0，﹣ ，1）， =（﹣ ，0，1）． 所以 =0﹣1+1=0， =﹣1+0+1=0． 所以CF⊥BE，CF⊥DE，所以CF⊥平面BDE （III）由（II）知， =（ ， ，1），是平面BDE的一个法向量， 设平面ABE的法向量 =（x，y，z），则 =0， =0．即 所以x=0，且z= y．令y=1，则z= ． 所以n=（ ），从而cos（ ， ）= 因为二面角A﹣BE﹣D为锐角，所以二面角A﹣BE﹣D为 ．