Question

已知函数f（x）=sin（2x+π6）+sin（2x-π6）+cos2x+a（a∈R，a为常数）．（1）求函数的周期；（2）求函

已知函数f（x）=sin（2x+π6）+sin（2x-π6）+cos2x+a（a∈R，a为常数）．（1）求函数的周期；（2）求函数的单调递增区间；（3）若x∈[0，π2]时，f（x）的最小值为-2，求a的值．

Answer 1

（1）f(x)＝sin(2x+

π

6

)+sin(2x?

π

6

)+cos2x+a=2sin2xcos

π

6

+cos2x+a=

3

sin2x+cos2x+a=2sin（2x+

π

6

）+a
∴T=

2π

2

=π；
（2）令?

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，可得?

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ（k∈Z）
∴函数的单调递增区间为[?

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]（k∈Z）；
（3）∵x∈[0，  

π

2

]，∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7

6

π]
∴sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]
∴2sin（2x+

π

6

）+a∈[-1+a，2+a]
∵f（x）的最小值为-2，
∴-1+a=-2，∴a=-1．