Question

求下列极限 lim（x→0）((e^x+e^2x+.+e^nx)/n)^(1/x)

Answer 1

lim（x→0）((e^x+e^2x+.+e^nx)/n)^(1/x)

=lim（x→0）【1+[(e^x-1)/n+(e^2x-1)/n+...+(e^nx-1)/n)]】^(1/x)

=lim（x→0）{【1+ [(e^x-1)/n+(e^2x-1)/n+...+(e^nx-1)/n)] 】^(1/[(e^x-1)/n+(e^2x-1)/n+...+(e^nx-1)/n)])}* [(e^x-1)/nx+(e^2x-1)/nx+...+(e^nx-1)/nx)]

因为：lim（x→0）[(e^x-1)/nx+(e^2x-1)/nx+...+(e^nx-1)/nx)]

=[1/n+2/n+...n/n]= (n+1)/2

lim（x→0）((e^x+e^2x+.+e^nx)/n)^(1/x)=e^[(n+1)/2]

含义：

因为ε是任意小的正数，所以ε/2 、3ε 、ε2等也都在任意小的正数范围，因此可用它们的数值近似代替ε。同时，正由于ε是任意小的正数，我们可以限定ε小于一个某一个确定的正数。

N随ε的变小而变大，因此常把N写作N(ε)，以强调N对ε的变化而变化的依赖性。但这并不意味着N是由ε唯一确定的：（比如若n>N使|xn-a|<ε成立，那么显然n>N+1、n>2N等也使|xn-a|<ε成立）。重要的是N的存在性，而不在于其值的大小。

Answer 2

楼上的答案是对的,解答过程很玄乎。

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Answer 3

lim（x→0）((e^x+e^2x+.+e^nx)/n)^(1/x)
=lim（x→0）【1+[(e^x-1)/n+(e^2x-1)/n+...+(e^nx-1)/n)]】^(1/x)
=lim（x→0）{【1+ [(e^x-1)/n+(e^2x-1)/n+...+(e^nx-1)/n)] 】^(1/[(e^x-1)/n+(e^2x-1)/n+...+(e^nx-1)/n)])}* [(e^x-1)/nx+(e^2x-1)/nx+...+(e^nx-1)/nx)]
因为：lim（x→0）[(e^x-1)/nx+(e^2x-1)/nx+...+(e^nx-1)/nx)]
=[1/n+2/n+...n/n]= (n+1)/2

lim（x→0）((e^x+e^2x+.+e^nx)/n)^(1/x)=e^[(n+1)/2]