Question

求lim(（e^x+e^2x+e^3x……e^nx)/n)^(1/x),n为给定的自然数，lim下面的约束条件为x～0

Answer 1

用等价无穷小ln（1+x）=x和洛必达法则即可，
它的极限为e ^ (n+1)/2
原式=exp{lim{1/x*ln[1+(e^x+e^2x+...+e^nx-n)/n]}}
x->0
=exp[lim(e^x+e^2x+...+e^nx-n)/nx] -----0/0型
x->0
=exp[lim(e^x+2e^2x+...+ne^nx)/n]
x->0
=exp(n+1/2) ----x->0时e^x=1

即它的极限为e ^ [(n+1)/2]

这个是1991年的数学三的考研原题吧。