Question

（选修4-4：坐标系与参数方程）已知直线l的参数方程 x=2-t y=1+ 3 t

（选修4-4：坐标系与参数方程）已知直线l的参数方程 x=2-t y=1+ 3 t （t为参数），圆C的极坐标方程：ρ+2sinθ=0．（1）将直线l的参数方程化为普通方程，圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）在圆C上求一点P，使得点P到直线l的距离最小．

Answer 1

（1）消去参数t，得直线l的普通方程为y=- 3 x+1+2 3 ， ρ+2sinθ=0，两边同乘以ρ得ρ 2 +2ρsinθ=0， 得⊙C的直角坐标方程为x 2 +（y+1） 2 =1； （2）设所求的点为P（cosθ，-1+sinθ）， 则P到直线l的距离d= | 3 cosθ+sinθ-2-2 3 | 1+3 = |2sin(θ+ π 3 )-2-2 3 | 2 = 2+2 3 -2sin(θ+ π 3 ) 2 ， 当θ= π 6 +2kπ，k∈Z，sin（θ+ π 3 ）=1，d取得最小值 3 ， 此时点P的坐标为（ 3 2 ，- 1 2 ）．