Question

如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°

如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，E是PD的中点，且PA=BC= AD．（1）求证：CE∥平面PAB（2）求证：CD⊥平面PAC（3）若PA=1，求三棱锥C﹣PAD的体积．

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Answer 1

解：（1）取PA的中点F，连接EF，BF， ∵PF=FA，PE=ED， ∴   ∴  ， ∴四边形EFBC是平行四边形 ∴CE∥FB ∵CE?平面PAB，FB?平面PAB ∴CE∥平面PAB （2）设PA=1，由题意 PA=BC=1，AD=2．                 ∵PA⊥面ABCD， ∴PB与面ABCD所成的角为∠PBA=45°． ∴AB=1， 由∠ABC=∠BAD=90°，易得CD=AC=  ． 由勾股定理逆定理得 AC⊥CD．                     又∵PA⊥CD，PA∩AC=A， ∴CD⊥面PAC （3）由（2）可知，PA⊥面ABCD， ∴三棱锥C﹣PAD的体积就是P﹣ACD的体积，PA=1． 由题意 PA=BC=1，AD=2， PB与面ABCD所成的角为∠PBA=45°． ∴AB=1 S △ACD =  =1， V C﹣PAD =  =  ．