Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,PB与底面所成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,PB与底面所成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，PA=BC=1/2AD.
求证：平面PAC⊥平面PCD
在棱PD上是否存在一点E，使CE//平面PAB？若存在，请确定点E位置，若不存在，请说明理由。
.

Answer 1

证：（1）∵PA⊥面ABCD，且CD在面ABCD上
∴PA⊥CD
∵∠PBA=45°
∴PA=AB=BC=1/2AD
∵∠ABC=∠BAD=90°
∵AC^2=AB^2+BC^2 =2PA^2
CD^2=AB^2+(1/2AD)^2=2PA^2
AD^2=4PA^2
可得：AC^2+CD^2=AD^2
∴CD⊥AC
∵PA、AC在面PAC上，且PA∩AC=A
∴CD⊥面PAC
又∵CD在面PCD上
∴面PAC⊥面PCD
（2）存在；
取PD中点为E，过E作EF垂直于面ABCD交AD于点F，连接CE、CF
∵EF⊥面ABCD、PA⊥面ABCD
∴EF‖PA
∵点E为PD中点
∴F为AD中点
∴AF=1/2AD=PA=BC
∵∠ABC=∠BAD=90°
∴BC‖=AF
∴四边形ABCF为平行四边形
∴CF‖BA
∵PA、AB在面PAB上；CF、EF在面CEF上；且PA∩AB于A；CF∩EF于F
∴面CEF‖面BPA
又∵CE在面CEF上
∴CE‖面PAB
∴存在这样的一个点E作为PD中点，使得CE‖面PAB