Question

已知{an}是公差为2的等差数列，且a3+1是a1+1与a7+1的等比中项．（1）求数列{an}的通项公式；（2）令bn=an

已知{an}是公差为2的等差数列，且a3+1是a1+1与a7+1的等比中项．（1）求数列{an}的通项公式；（2）令bn=an?12n（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．

Answer 1

（满分12分）
（1）解：∵{a_n}是公差为2的等差数列，
∴a₃=a₁+4，a₇=a₁+12，（2分）
又a₃+1是a₁+1与a₇+1的等比中项，
∴（a₃+1）²=（a₁+1）（a₇+1），
即（a₁+5）²=（a₁+1）（a₁+13）（4分）
解得：a₁=3，∴a_n=2n+1．（6分）
（2）解：∵b_n=

an?1

2n

=

n

2n?1

，
∴T_n=

1

20

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n?1

，

1

2

Tn＝

1

21

+

2

22

+

3

23

+…+

n?1

2n?1

+

n

2n

（8分）
两式相减得：

1

2

Tn＝1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n?1

?

n

2n

（10分）
=2?

2

2n

?

n

2n

∴Tn＝4?

n+2

2n?1

．（12分）