Question

已知函数f(x),当x,y属于R时,恒有f(x+y)=f(x)+f(y) 若x属于R+时,f（x）＜0,且f（1）=………………

Answer 1

在
恒等式
f(x+y)=f(x)+f(y)，x，y∈R中，
令x=y=0，得f(0)=0，
再令y=
-x，由f(0)=0，
得f(x)+f(-x)=0，即f(-x)=
-f(x)
∴f(x)为R上的
奇函数
.
设x1，x2∈R，且x1=x2+△x，（△x>0），
则x1>x2，
由f(x)为R上的奇函数及恒等式可知，
f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)=f(△x)
∵已知当x∈R+时，f(x)<0，且△x>0，
∴f(△x)<0，即f(x1)-f(x2)<0,
∴f(x1)<f(x2)，
由增
减函数
的定义可知，f(x)在R上为减函数.
在恒等式f(x+y)=f(x)+f(y)中，由f(1)=
-1/2，
令x=y=1，得f(2)=
-1，又f(x)为奇函数，∴f(-2)=1
再令x=2，y=2，得f(4)=
-2，
再令x=4，y=2，得f(6)=
-3，
∵f(x)在R上为减函数.
∴f(x)在[-2，6]上为减函数，
∴f(x)在[-2，6]上的最大值为f(-2)=
1，最小值为f(6)=
-3.

Answer 2

1.
令x=y=0
f(0)=f(0)+f(0)
所以
f(0)=0
再令
y=-x
所以
f(0)=f(x)+f(-x)=0
所以f(x)为奇函数
2.
令x=3
y=-3
f(0)=f(3)+f(-3)=0
f(3)=-a
令x=3
y=3
f(6)=f(3)+f(3)=-2a
令x=6
y=6
f(12)=f(6)+f(6)=-4a
令x=12
y=12
f(24)=f(12)+f(12)=-8a
3.
同上一问可以求得
f(-2)=1
f(6)=-3
根据f（x+y)=f(x)+f(y)
当y>0
f（x-y)=f(x)+f(-y)

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