Question

二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x,f(0)=1,求f(x)及f(x)在【-1，1】上的最大值和最小值。

Answer 1

设f（x）=ax2+bx+c，由f（0）=1得c=1，故f（x）=ax2+bx+1．
因为f（x+1）-f（x）=2x，所以a（x+1）2+b（x+1）+1-（ax2+bx+1）=2x．
即2ax+a+b=2x，所以
2a=2
a+b=0，∴
a=1
b=-1，
所以f（x）=x2-x+1
=(x-1/2)^2+3/4

在[-1,1]的最大值是f(-1)=3

最小值是f(1/2)=3/4

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Answer 2

令f（x）=ax²+bx+c
f（x+1）-f（x）
=ax²+2ax+a+bx+b+c-（ax²+bx+c）
=2ax+a+b
=2x
a=1
a+b=0，b=-1
f（o）=c=1
f（x）=x²-x+1
f（x）=（x-1/2）²+3/4
当x∈[-1,1]时
最小值=f（1/2）=3/4
最大值=f（-1）=3
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