Question

计算：1+（1+2）+（1+2+3）+（1+2+3）+（1+2+3+4）+---+（1+2+3+---+100） =（ ）

Answer 1

1=1*2/2
1+2=2*3/2
1+2+3=3*4/2
.........
1+2+3+4+5+...+100=100*101/2
所以原式=(1*2+2*3+...+100*101)/2
所以只要求1*2+2*3+...+100*101
因为1*2=(1*2*3-0*1*2)/3
2*3=(2*3*4-1*2*3)/3
..........
100*101=(100*101*102-99*100*101)/3
以上100个式子的左边加左边=右边加右边
得：1*2+2*3+...+100*101=100*101*102/3
所以原式等于100*101*102/6=171700
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Answer 2

1+（1+2）+(1+2+3)+....+(1+2+3+4+...+99)
//前99项之和
=(100-1)*1+(100-2)*2+(100-3)*3+...+(100-99)*99
//99个1,98个2,97个3，。。1个99
=100(1+2+..+99)-(1^2+2^2+3^2+..+99^2)
=100*[99*(1+99)/2]-99*(99+1)*(2*99+1)/6
最终结果=100*99*(50-199/6)
+
(1+2+3+..+100)
//最后一项
=100*99*(50-199/6)+
50*101
=(500000-5000)-50*33*199+5050
=500000+50-50*33*199
=500000+50-1650*(200-1)
=171700
用到的2个公式
1+2+..+n=n(n+1)/2
1^2+2^2+..+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

Answer 3

这个式子求和就是
i(i+1)/2
i从1到100的求和
其中i^2/2，i从1到n的求和是n(n+1)(2n+1)/12
i/2，i从1到n的求和是n(n+1)/4
加起来是n(n+1)(n+2)/6
令n=100，得到
100*101*102/6=171700