Question

已知α，β∈（0，π/2），且sinα^2+sinβ^2=sin(α+β),求证：α+β=π/2

Answer 1

用反证法证明如下：
由于sinα^2+sinβ^2=sin(α+β)，所以sinα^2+sinβ^2=sinαcosβ
+
cosαsinβ;
sinx在x∈（0，π/2）上是单调递增的，所以：
（1）假设α>π/2-β，则β>π/2-α,
所以sinα>sin(π/2-β)
,
sinβ>sin(π/2-α)；
于是sinα^2+sinβ^2>sinαsin(π/2-β)+sinβsin(π/2-α)=sinαcosβ
+
cosαsinβ，与题设矛盾；
（2）假设α<π/2-β，则β<π/2-α,
所以sinα<sin(π/2-β)
,
sinβ<sin(π/2-α)；
于是sinα^2+sinβ^2<sinαsin(π/2-β)+sinβsin(π/2-α)=sinαcosβ
+
cosαsinβ，与题设矛盾；
因此，原假设不成立，故α=π/2-β，即α+β=π/2