Question

已知在数列﹛an﹜中，a1=2，a2=4，an+1=3an-2an-1（n≥2，n∈N﹡）。 ⑴证明：数列﹛an+1－an﹜是等比数列

Answer 1

证明：当n=1时有：
a2-a1=2
a3=3a2-2a1=12-4=8
得：a3-a2=4
即：(a3-a2)/(a2-a1)=2
数列﹛an+1－an﹜是等比数列
成立
当：i=n+1时有：i≥2
an+1=3an-2an-1
即：an+1-an=2(an-an-1)
可得：
(an+1-an)/(an-an-1)=2
也成立，综上可得数列﹛an+1－an﹜是等比数列

Answer 2

证明：（1）an+1=3an-2an-1
an+1-an=2(an-an-1)
a1=2,
a2=4
a2-a1=2不为0
an-an-1不为0
(an+1-an)/(an-an-1)=2
所以数列﹛an+1－an﹜是等比数列
（2）所以an+1-an=2^n
an-an-1=2^n-1
....
....
....
....
a2-a1=2
将上式相加得
an+1-a1=2^n+2^n-1+......+2=2*(1-2^n)/(1-2)=2^(n+1)-2
a1=2
an+1=
2^(n+1)
所以an=
2^n
所以bn=2﹙an-1﹚／an=2*2^(n-1)/2^n=1
故Sn=n
所以sn﹥2010的最小值为2011

Answer 3

a【n+1】=3a【n】/( 2a【n】+1)
1/a【n+1】=(
2a【n】+1)/(3a【n】)
1/a【n+1】=(2/3)+1/(3a【n】)
1/a【n+1】-1=(2/3)+1/(3a【n】)-1=1/(3a【n】)-1/3=(1/3)(1/a【n】-1)
由上式可知，数列1/a【n+1】-1是以1/a1-1为首项，1/3为公比的等比数列
则有：1/a【n】-1=[(1/3)^(n-1)]*[1/a1-1]=[(1/3)^(n-1)]*[5/3-1]=(2/3)*(1/3)^(n-1)
可解得：a【n】=1/[1+(2/3)*(1/3)^(n-1)]