Question

已知数列{an}中，a1=1，a2=2，an+1=2an+3an-1（n≥2且n∈N*）．（I）证明数列{an+an+1}是等比数列；（II

已知数列{an}中，a1=1，a2=2，an+1=2an+3an-1（n≥2且n∈N*）．（I）证明数列{an+an+1}是等比数列；（II）求a1+a2+…an（n∈N*）

Answer 1

（I）证明：因为a_n+1=2a_n+3a_n-1，所以a_n+1+a_n=3（a_n+a_n-1），
所以

an+1+an

an+an?1

=3是常数，
所以数列{a_n+a_n+1}是以a₁+a₂=3为首项，等比为3的等比数列；
（II）由（Ⅰ）得a_n+1+a_n=3ⁿ，…①，
又a_n+1=2a_n+3a_n-1（n≥2且n∈N^*）．
得a_n+1-3a_n=-（a_n-3a_n-1），（n≥2且n∈N^*）．
即

an+1?3an

an?3an?1

=-1，常数，
所以数列{a_n+1-3a_n}是以-1为首项，公比为-1的等比数列，
a_n+1-3a_n=（-1）ⁿ，…②，
解①②得，a_n=

1

4

?3n?

1

4

?(?1)n，
∴a₁+a₂+…a_n=

1

4

（3¹+3²+3³+…+3ⁿ）-

1

4

[（-1）+（-1）²+（-1）³+…+（-1）ⁿ]
=

1

8

[3n+1+(?1)n+1?2]   （n∈N^*）．