Question

数学归纳法证明 x^(2n-1)+y^(2n-1) 能被X+Y整除 n3+5n能被6整除

Answer 1

第一题：证明
x^(2n-1)+y^(2n-1)
能被X+Y整除
1、n=1时
x+y能被x+y整除
故n=1时成立
n=2时
x^3+y^3=(x+y)(x²+xy+y²)能被x+y整除
2、
假设n=k，n=k-1时
命题成立
即
x^(2k-1)+y^(2k-1)能被x+y
整除
x^(2k-3)+y^(2k-3)能被x+y整除
3、
当n=k+1时
x^(2k+1)+y^(2k+1)
=x^2*x^(2k-1)+y^2*y^(2k-1)
=x^2*x^(2k-1)+x^2*y^(2k-1)+y^2*y^(2k-1)+y^2*x^(2k-1)-x^2*y^(2k-1)-y^2*x^(2k-1)
=x^2*(x^(2k-1)+y^(2k-1))+y^2*(x^(2k-1)+y^(2k-1))-x2*y2（x^(2k-3)+y^(2k-3)）
以上3式都能被x+y整除
故x^(2k+1)+y^(2k+1)能被x+y整除
即n=k+1时命题也成立
故对一切自然数n
命题成立
第二题：n3+5n能被6整除
证明:(1)当n=1时,13+5×1=6,命题显然成立.
(2)假设当n=k时,k3+5k能被6整除.
因(k+1)3+5(k+1)=k3+3k2+3k+1+5k+5
=(k3+5k)+3k(k+1)+6,
其中两个连续自然数之积的3倍能被6整除,k3+5k,3k(k+1),6分别能被6整除,所以当n=k+1时,命题成立.
据(1)(2)可知对于任意的n∈N*,命题都成立.