Question

已知f（x）=x|x-a|+2x-3．（Ⅰ）当a=4，2≤x≤5时，问x分别取何...

已知f（x）=x|x-a|+2x-3． （Ⅰ）当a=4，2≤x≤5时，问x分别取何值时，函数f（x）取得最大值和最小值，并求出相应的最大值和最小值； （Ⅱ）若f（x）在R上恒为增函数，试求a的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）当a=4时，f（x）=x|x-4|+2x-3．
（1）2≤x＜4时，f（x）=x（4-x）+2x-3=-（x-3）2+6，
当x=2时，f（x）min=5；当x=3时，f（x）max=6．
（2）当4≤x≤5时，f（x）=x（x-4）+2x-3=（x-1）2-4
当x=4时，f（x）min=5；当x=5时，f（x）max=12．
综上所述，当x=2或4时，f（x）min=5；当x=5时，f（x）max=12．
（Ⅱ）f(x)=x2+(2-a)x-3，x≥a-x2+(2+a)x-3，x＜a=(x-a-22)2-(a-2)24-3，x≥a-(x-a+22)2+(a+2)24-3，x＜a，
f（x）在R上恒为增函数的充要条件是a-22≤aa+22≥a，解得-2≤a≤2．