Question

设函数f(x)=x^2+ax+b,集合A={x|f(x)=x}.(1)若A={1,2},求f(x)的值域。

(2)若A={1}，且f(x)在x属于[m,+∞)时的最小值为2m+1，求实数m的值。

Answer 1

第一个问题:
依题意，显然有:方程x^2+ax+b=x的两根为1、2，
即方程x^2+(a-1)x+b=0的两根为1、2，∴由韦达定理，有:a-1=-1-2、b=1×2=2，
∴a=-2、b=2。
∴f(x)=x^2-2x+2=(x-1)^2+1≧1。
∴f(x)的值域是:[1，+∞)。
第二个问题:
依题意，显然有:方程x^2+ax+b=x的两根都是1，
即方程x^2+(a-1)x+b=0的两根都是1，∴由韦达定理，有:a-1=-2、b=1，
∴a=-1、b=1。
∴f(x)=x^2-x+1=(x-1/2)^2+3/4≧3/4。
∴当x=1/2时，f(x)有最小值为3/4。
令2m+1=3/4，得:m=-1/8＜1/2。
∴f(x)在[m，+∞)上有最小值为(2m+1)时，必须要:m＞1/2。
显然，当x＞1/2时，f(x)是增函数，∴f(m)=2m+1，∴m^2-m+1=2m+1，
∴m^2-3m=0，∴m=3。