Question

已知数列an中，a1=1,a(n+1)=2^n*an,则an=

过程

Answer 1

解:
令b(n)=a(n+1)/a(n)
则b(n)=2^n
b(1)*b(2)*b(3)*……*b(n-2)*b(n-1)
=2^1*2^2*2^3*……*2^(n-2)*2(n-1)
=2^[1+2+3+……+(n-2)+(n-1)]
=2^[n*(n-1)/2]
而b(1)*b(2)*b(3)*……*b(n-2)*b(n-1)
=a(2)/a(1)*a(3)/a(2)*a(4)/a(3)*……*a(n-1)/a(n-2)*a(n)/a(n-1)
=a(n)/a(1)
又a(1)=1
所以当n>=2时，
a(n)=2^[n*(n-1)/2]
将n=1代入2^[n*(n-1)/2]得1
所以n=1也适合a(n)
所以a(n)=2^[n*(n-1)/2]

Answer 2

a(n+1)a(n)=a(n+1)-a(n)
两边同时除以a(n+1)a(n)，得：
1/a(n)-1/a(n+1)=1
1/a(n+1)-1/a(n)=-1
所以{1/a(n+1)}是以-1为公差的等差数列
1/a(n+1)-1/a(n)=-1
1/a(n)-1/a(n-1)=-1
...
1/a(2)-1/a(1)=-1
将以上n个式子两边相加得：
1/a(n+1)-1/a(1)=-n
1/a(n+1)+1=-n
a(n+1)=-1/(n+1)
所以
a(n)=-1/n