Question

不定积分怎么理解

Answer 1

问题一：不定积分理解 你的这个理解不能说不对，但是似是而非，感觉很不清楚。其实不定积分和定积分一开始最好是分开来理解的。不定积分其实就是原函数的运算，也就是求导的逆运算，如果只看不定积分的定义是看不出其和求曲边梯形面积之类有什么关系的，因此姑且就把不定积分理解为求原函数好了。定积分的本质是求某类和式的极限（例如求曲边梯形面积），这里也看不出求面积和求该函数的原函数之间有什么关系，因此定积分就理解为求和式极限。把定积分和不定积分联系起来的是微积分基本定理，这个定理如果按照刚才我说的那样去理解的话，应该是f(x)在[a,b[上某个和式极限。等于f(x)的原函数F(x)在b,a两点函数值之差。其实正是由于这个定理，才使人们感到求和式极限的运算和求原函数的运算息息相关，既然求原函数的运算叫不定积分，那么就给求和式极限的运算也起个类似的名字，叫定积分。（包括二者的符号也是类似的）

问题二：求取整函数的不定积分怎么理解啊？没看懂 答：
弄明白这个问题，还真不能仅仅从积分本身入手！
1、取整函数并不是连续函数，因此，根据积分基本定理，经典理论表明其不存在积分，分析其函数特性y=[x]，发现虽然是属于第二类间断点，但是因为积分在某个点上的值是不存在的，因此，根据目前的积分定义，其是可积函数；
2、由1分析可知，因为其跳跃间断点的特性，我们只能采用分段积分的方式来求解！
3、因为直接求y=[x]的原函数是不可能的，因此，根据2的情况，再利用定积分和不定积分的关系：牛莱公式（牛顿比爱因斯坦牛！），可以考虑先转换成定积分，即：
令：∫[x]dx=F(x)+C'，则：∫(0，x) [x]dx = F(x)-F(0)
因此:
∫[x]dx=∫(0，x) [x]dx + C ，其中：C=F(0)+C'
不失一般性，可以设x>0，实际上x0为例！
4、根据y=[x]的特性，分段能积分的范围，一定要分成连续段，最好以跳跃间断点为边界，因此：
∫[x]dx
=∫(0，x) [x]dx + C
=∫(0，[x]) [x]dx + ∫([x],x) [x]dx .........................此处用到广义积分定义！
5、分析∫(0，[x]) [x]dx，显然，区间0，[x]并非连续区间，直接求积分不仅没有办法求，而且还是包括间断点，因此，根据4分析，可得：
∫(0，[x]) [x]dx
=∫(0，1) [x]dx+∫(1,2)[x]dx +∫(2,3)[x]dx+.........+∫([x]-1,[x])[x]dx
=Σ(k:0→[x]-1) ∫(k,k+1) [x]dx
很显然，在区间(k,k+1)上，函数y=[x]是常数k，因此：
∫(0，[x]) [x]dx
=Σ(k:0→[x]-1) ∫(k,k+1) [x]dx
=Σ(k:0→[x]-1) k ..............................................等差数列
=[x](0+[x]-1)/2
=（[x]2-[x]）/2
6、根据5的分析，显然∫([x],x) [x]dx在([x],x)是连续的，此时y=[x]依旧是常数[x]，因此：
∫([x],x) [x]dx
=[x]∫([x],x) dx
=[x](x-[x])
7、综合上述分析结果：
原式
=（[x]2-[x]）/2 + [x](x-[x]) +C
=x[x]-([x]2+[x])/2 + C
本题考查了积分的定义，其实没有什么意思！