Question

当x→0时，1-cosxcos2xcos3x与axn是等价无穷小，求常数a，n．？

Answer 1

解题思路：①x→0，将余弦函数写为麦克劳林展开式
②利用两个函数是等价无穷小，则极限为1，进行求解
当x→0时余弦函数在x=0的带佩亚诺余项的泰勒展开式：
cosx＝
n+1

k＝1
(−1)k−1x2k−2
(2k−2)!+o(x2n)
则当x→0时函数在x=0的带佩亚诺余项的二阶泰勒展开式分别为：
cosx＝1−
1
2x2+o(x2)
cos(2x)＝1−
1
2(2x)2+o(x2)=1-2x2+o（x2）
cos(3x)＝1−
1
2(3x)2+o(x2)=1−
9
2x2+o(x2)
∴1-cosxcos（2x）cos（3x）=1−(1−
1
2x2+o(x2))（1-2x2+o（x2））(1−
9
2x2+o(x2))
=7x2+o（x2）
∴
lim
x→0
7x2+o(x2)
axn＝1
∴a=7，n=2
,2,