Question

2.微分方程y"++4y'=3x+1的特解应设为(+)？

Answer 1

😳 : 微分方程 y''+4y'=3x+1

👉微分方程

• 微分方程，是指含有未知函数及其导数的关系式。解微分方程就是找出未知函数。

• 微分方程是伴随着微积分学一起发展起来的。微积分学的奠基人Newton和Leibniz的著作中都处理过与微分方程有关的问题。微分方程的应用十分广泛，可以解决许多与导数有关的问题。物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题，如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题，很多可以用微分方程求解。此外，微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域都有应用。

• 数学领域对微分方程的研究着重在几个不同的面向，但大多数都是关心微分方程的解。只有少数简单的微分方程可以求得解析解。不过即使没有找到其解析解，仍然可以确认其解的部分性质。在无法求得解析解时，可以利用数值分析的方式，利用电脑来找到其数值解。 动力系统理论强调对于微分方程系统的量化分析，而许多数值方法可以计算微分方程的数值解，且有一定的准确度。

👉微分方程的例子

1. 『例子一』  y'=x
   

2. 『例子二』  y''+2y'+y=0
   

3. 『例子三』  y'=sinx
   

👉回答

y''+4y'=3x+1

• 辅助公式

r^2 +4r =0

r(r+4)=0

r=0 or -4

令

yg= Ae^(-4x) +B

yp= Cx^2+Dx

yp'=2Cx +D

yp''=2C

yp''+4yp'=3x+1

3C +4(2Cx +D) =3x+1

8Cx +(3C+4D)  =3x+1

• 解出

C=3/8, D=-1/32

yp= Cx^2+Dx =(3/8)x^2 -(1/32)x

通解

y= yg+yp=Ae^(-4x) +B +(3/8)x^2 -(1/32)x

😄: 通解 y=Ae^(-4x) +B +(3/8)x^2 -(1/32)x

Answer 2

y"+4y' = 3x+1
特征方程 r^2 + 4r = 0， r = 0， -4
故微分方程特解应设为 y = x(ax+b)

Answer 3

r²+r=0
r1=0(特征根)
r2=-4
Y=C₁e^(-4)+C₂
y*=ax²+bx
y*''=2a
y*'=2ax+b
2a+8x+4b=3x+1
a=3/8
b=1/8

y=C₁e^(-4)+C₂+3x²/8+x/8