Question

一道题目关于值域

函数f(x)的值域是（1/2,3）,求函数g(x)=f(x)+1/f(x)值域。求过程、

Answer 1

先换元，再求导
令f(x)=t , t∈（1/2,3）
则g(x)可以化成关于t的函数h(t)=t+1/t , t∈（1/2,3）
求导h'(t)=1-1/t²=(t²-1)/t²
当t∈（1/2,1）时h'(t)<0 当t∈（1,3）时h'(t)>0
t∈（1/2,1）减函数，t∈（1,3）增函数
所以当t=1时取得最小值h(1)=2
最大值应是h(1/2)与h(3)这两个值中大的那个
h(1/2)=5/2 h(3)=10/3
但由于t的范围是开区间，以上两个值都无法取到
故值域应为[2，10/3）